高考数学压轴（数学高考立体几何大题）(直线距离立体几何)
一道立体几何压轴题，来了！！！
在高考中，立体几何一向是令人头疼的难题之一。偶尔，一道立体几何题目能够让考生在漫漫的路程中心力交瘁。今天，咱们就来解答一道高考立体几何大题，帮助各位考生更好地应对这个挑战。
题目如下：
已知棱长为$a$的正方体$ABCDEFGH$，顶点$A$与顶点$F$所处的高度相同。在棱$BC$上找一点$P$，使得平面$APD$与平面$ABCG$垂直交于直线$MN$。记直线$MN$与平面$ABCG$的交点为点$Q$，与棱$AB$的交点为点$R$。
1、求点$P$与点$Q$的距离；
2、求点$P$与点$A$的距离；
3、求直线$PR$的长度；
解答如下：
first of all，大家需要找到点$P$的具体位置。假设棱长为$a$的正方体$ABCDEFGH$之顶点$A$与顶点$F$的高度为$h$。依据题意可知，平面$APD$与平面$ABCG$垂直交于直线$MN$，则$APD$与$ABCG$一定是相互垂直的。
由于棱$BC$的中点为点$P$，所以线段$BP$的长度为$a/2$。又由于$A$与$F$的高度相同，即$AF$和$BP$垂直平分于平面$ABCG$。于是，俺们是可以得到直线$AF$和$BD$垂直平分于平面$ABCG$的结论。
因为$AF$和$BD$都是正方体的对角线，所以$AF=BD=\sqrt{2}\cdota$。
依据立体几何的知识，俺们是可以得知：
1、点$P$与点$Q$的距离为$PF$的垂直距离；
2、点$P$与点$A$的距离为$AF$的长度减去$PF$的垂直距离；
3、直线$PR$的长度为直线$AF$的长度减去$AR$的长度。
接着下面，我们来具体求解。
1、依据题意可知，点$P$在棱$BC$上，所以点$P$的坐标为$(0，0，\frac{a}{2})$。点$F$的坐标为$(a，a，0)$。于是，直线$FP$的方向向量为$(a，a，-\frac{a}{2})$。
点$P$与点$Q$之间的距离可以 使用点到直线的距离公式求解。将线段$FP$的方向向量标准化为单位向量$\overrightarrow{u}=\frac{(a，a，-\frac{a}{2})}{\sqrt{a^2+a^2+(-\frac{a}{2})^2}}=\frac{(2，2，-1)}{3}$。
则点$P$到直线$ABCG$的最短距离为$PQ=|\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{FP}-(\overrightarrow{FP}\cdot\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{u}|$。计算得到：$PQ=\frac{a\sqrt{3}}{6}$。
2、点$P$与点$A$之间的距离可以 使用点到平面的距离公式求解。直线$AP$的方向向量为$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{P}=(a，a，\frac{a}{2})$。
点$P$到平面$ABCG$的最短距离为$PA=|\overrightarrow{PA}|/\sqrt{3}=|\overrightarrow{v}|/\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$。
3、直线$AR$的长度为直线$AF$的长度减去$AR$的长度。直线$AF$的长度可以依据坐标计算得到：$AF=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2+(0-\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{2}}$。
直线$AR$的长度可以利用两点间距离公式计算得到：$AR=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2+(\frac{a}{2}-0)^2}=\frac{\sqrt{6}\cdota}{2}$。
于是，直线$PR$的长度为$PR=AF-AR=\sqrt{\frac{5a^2}{2}}-\frac{\sqrt{6}\cdota}{2}$。
总的来说，点$P$与点$Q$的距离为$PQ=\frac{a\sqrt{3}}{6}$，点$P$与点$A$的距离为$PA=\frac{a\sqrt{6}}{6}$，直线$PR$的长度为$PR=\sqrt{\frac{5a^2}{2}}-\frac{\sqrt{6}\cdota}{2}$。
通过解答以上三个问题，我们希望可以帮助到广大考生更好地理解立体几何的知识，并在高考中应对这类压轴题。立体几何是高考数学中的一大难点，但只要我们掌握好基本概念和解题方法，相信考生们皆能有好的发挥。祝愿广大考生在高考中取得好成绩！！！